Parte II
ANALISI
FUNZIONALE del GIUNTO CARDANICO
2.1 Sommario
L’obiettivo della parte II del presente lavoro è l’analisi cinematica e dinamica del giunto cardanico che permette la trasmissione del moto tra due alberi aventi assi complanari e concorrenti in un punto; l’inclinazione tra i due assi viene posta variabile sinusoidalmente nel tempo.
Viene
inizialmente esaminato il modello in VN 4D del giunto cardanico semplice e,
dopo averne constatato la non omocineticità, vengono calcolate le forze che si
scambiano i membri del meccanismo quando l’albero motore gira a velocità
angolare costante.
Successivamente
viene analizzato il giunto cardanico doppio avente albero intermedio con
forcelle complanari (giunto omocinetico con rapporto di trasmissione unitario)
e forcelle non complanari (giunto non omocinetico).
2.2 Giunto cardanico semplice
Il modello
in VN 4D, ottenuto connettendo vari corpi rigidi cilindrici e a forma di
parallelepipedo, è rappresentato in figura 2.1.
Le coppie
rotoidali che collegano la crociera con i due alberi e quella che collega
l’albero condotto alla parte mobile del telaio sono caratterizzate da un
coefficiente di attrito viscoso non nullo.
Tra la
parte fissa del telaio e l’albero motore è stato collocato un motore rotativo
che impone all’albero motore una velocità angolare costante pari a 90 °/s.
Lo snodo
(vedi fig. 2.1) è dotato di un motore che fa oscillare nel tempo la parte
mobile del telaio rispetto a quella fissa con una legge sinusoidale di
spostamento angolare avente periodo di 10 s e ampiezza pari a 20°; la posizione
media corrisponde al parallelismo tra le due parti che compongono il telaio.
Fig. 2.1 – Modello del giunto cardanico semplice.
2.2.1 Analisi cinematica diretta
Nell’analisi cinematica diretta vengono calcolati i
moti dei membri del meccanismo ipotizzando noto il movimento del membro motore.
Il rapporto di trasmissione del giunto è definito come
t = ncond
/nmot , in cui ncond è la velocità angolare dell’albero
condotto e nmot è la velocità angolare dell’albero motore.
Siccome in questo caso la velocità dell’albero motore
è costante (nmot = 90 °/s), l’andamento di ncond nel
tempo coincide a meno di un coefficiente moltiplicativo con quello del rapporto
di trasmissione.
In figura 2.2 è plottata la ncond in
funzione del tempo.
Come si vede in figura 2.2 l’andamento di ncond
non è costante nel tempo ma varia in modo periodico con periodo pari a 10 s,
coincidente con quello dell’oscillazione del telaio mobile imposta dal motore
dello snodo.
Il giunto cardanico semplice non è pertanto
omocinetico, cioè il suo rapporto di trasmissione non è costante.
L’albero condotto gira alla stessa velocità
dell’albero motore un istante ogni 10 s e cioè solo quando la parte mobile del
telaio è parallela a quella fissa; negli altri istanti esso ruota intorno al
suo asse con velocità maggiore o minore (in modulo) di quella dell’albero
motore.
L’andamento temporale dell’accelerazione angolare
dell’albero condotto è riportata in figura 2.3.
Fig. 2.2 – Andamento della velocità angolare dell’albero condotto attorno al suo asse in funzione del tempo nel periodo di 10 s. Il segno meno è dovuto all’orientazione dell’asse z (coincidente con l’asse dell’albero) del sistema di riferimento solidale all’albero condotto.
Fig. 2.3 – Andamento dell’accelerazione angolare dell’albero condotto attorno al suo asse in funzione del tempo nel periodo di 10 s.
Anche l’accelerazione angolare dell’albero condotto ha
periodo pari a 10 s; tale accelerazione è causa di vibrazioni nel meccanismo
reale.
L’accelerazione angolare si annulla 14 volte nel
periodo e in particolare quando la parte mobile del telaio è parallela a quella
fissa.
Di seguito viene analizzata la cinematica della
crociera, membro caratteristico del giunto cardanico.
Per quanto riguarda la velocità angolare della
crociera, in figura 2.4 è riportato l’andamento del modulo e delle componenti
della velocità angolare di un ramo della crociera: si può vedere che coincide
perfettamente con l’andamento nel tempo della velocità angolare del ramo
ortogonale ad esso.
Fig. 2.4 – Modulo e componenti della velocità angolare rispetto a un sistema di riferimento solidale al ramo della crociera avente asse z parallelo all’asse del ramo. L’andamento è lo stesso per entrambi i rami della crociera.
La figura 2.5 mostra come varia nel tempo lo
spostamento angolare relativo tra un ramo della crociera e la forcella alla
quale essa è collegata mediante coppia rotoidale. Dalla figura stessa si può
notare come l’andamento sia simmetrico nel periodo di 10 secondi.
Il diagramma che si ottiene è lo stesso per ognuna
delle 4 coppie rotoidali che collegano la crociera con le forcelle degli
alberi.
Fig. 2.5 – Spostamento angolare relativo tra un ramo della crociera e la forcella a cui è accoppiato. Lo stesso diagramma si ottiene per ognuna delle 4 cerniere della crociera.
2.2.2 Analisi dinamica
Il momento che deve esercitare il motore sull’albero
motore affinchè esso ruoti a 90 °/s (nonostante lo snodo vari sinusoidalmente
nel tempo la sua inclinazione) vincendo le inerzie, la forza peso e i momenti
di attrito viscoso negli accoppiamenti cinematici è plottato in funzione del
tempo nella figura 2.6.
Fig. 2.6 – Momento motore lungo l’asse dell’albero motore nel periodo di 10 s. Il segno meno è dovuto solo all’orientazione della coordinata sull’albero motore rispetto a cui è stato calcolato.
Il momento motore risulta simmetrico nel periodo di 10
s.
La figura 2.7 mostra come variano nel periodo le forze
che vengono esercitate sulla crociera attraverso le 4 cerniere da parte delle
forcelle dei due alberi; tali informazioni sono utili per l’analisi strutturale
della crociera e degli alberi accoppiati.
Fig. 2.7 – Forza scambiata attraverso una cerniera della crociera. L’andamento per le altre cerniere è analogo. Gli assi x, y e z sono quelli di una terna solidale a un ramo della forcella avente asse z coincidente con l’asse del ramo.
2.3 Giunto
cardanico doppio con albero intermedio avente forcelle complanari
Per far sì che il giunto cardanico sia omocinetico è
necessario aggiungere al meccanismo un albero intermedio avente le forcelle di
estremità giacenti nello stesso piano.
In figura 2.8 è rappresentato il modello di giunto
cardanico doppio che è stato ottenuto unendo due giunti cardanici semplici
uguali a quello analizzato nel paragrafo 2.2.
L’albero motore gira ancora a 90 °/s e il telaio è
stato opportunamente modificato per modellizzare il disallineamento angolare
variabile nel tempo tra l’albero condotto e l’albero motore.
Lo snodo è sede di un motore che fa oscillare nel
tempo la parte mobile del telaio rispetto a quella fissa con una legge
sinusoidale di spostamento angolare avente periodo di 10 s e ampiezza pari a
20°; la posizione media corrisponde al parallelismo tra le due parti che
compongono il telaio.
Fig. 2.8 – Modello di giunto cardanico doppio con albero intermedio avente forcelle complanari.
La velocità
e l’accelerazione angolare dell’albero condotto sono plottate in figura 2.9.
Figura 2.9 – Componenti della velocità e dell’accelerazione angolare dell’albero condotto lungo il suo asse.
Come si deduce dalla figura 2.9 la velocità angolare
dell’albero condotto si mantiene (a meno degli errori numerici) costante e pari
in modulo alla velocità angolare dell’albero motore. Il giunto cardanico doppio
con albero intermedio avente forcelle complanari risulta quindi omocinetico con
rapporto di trasmissione unitario.
La coppia
che il motore deve esercitare sull’albero motore è diagrammata nella figura
2.10.
Fig. 2.10 – Coppia motrice sull’albero motore nel periodo di 10 s rispetto a un riferimento solidale all’albero motore avente asse z coincidente con quello dell’albero motore.
In figura 2.10 si può notare come la componente del
momento lungo l’asse z, cioè lungo l’asse dell’albero, sia molto piccola poichè
serve solamente per vincere gli attriti viscosi delle coppie rotoidali e non le
forze d’inerzia dovute all’accelerazione dell’albero condotto.
2.4 Giunto
cardanico doppio con albero intermedio avente forcelle non complanari
Se le forcelle dell’albero intermedio del giunto
cardanico doppio analizzato nel paragrafo 2.3 (vedi figura 2.8) vengono fatte
ruotare in modo tale da non essere più complanari, allora si ottiene nuovamente
un giunto non omocinetico: la figura 2.11 prova questa affermazione in quanto
risulta che la velocità angolare dell’albero condotto varia nel tempo
all’interno del periodo di 10 secondi.
Figura 2.11 – Andamento della velocità e dell’accelerazione angolare dell’albero condotto in funzione del tempo nel periodo di 10 s.
Nella figura seguente è diagrammato il momento motore
applicato sull’albero motore per realizzare il movimento desiderato.
Fig. 2.12 – Coppia motrice rispetto a un riferimento solidale all’albero motore avente asse z coincidente con quello dell’albero motore.
La coppia motrice nel caso di forcelle non complanari
(fig. 2.12) è assai simile a quella del caso di forcelle complanari (fig.
2.10).