MODELLAZIONE MULTIBODY DI UN
VEICOLO ROLLANTE A TRE RUOTE
di Enrico Giolo, 2008
INDICE
1.
introduzione
2.
il veicolo
4.1. modello geometrico
4.2. pneumatico
4.6. ingresso in curva
4.7. slalom: confronto con il veicolo reale
5.
conclusioni
I veicoli rollanti a tre ruote nascono dal desiderio di unire la
maneggevolezza di un motociclo alla stabilità di un’automobile, sfruttando così
le migliori caratteristiche di entrambe i mezzi. Sono stati costruiti molti
prototipi sia da case motociclistiche , che automobilistiche, che da intraprendenti inventori. Vediamone le
principali caratteristiche:
Il
veicolo deve rollare!
Esistono molti ‘falsi d’autore’ sul mercato: questo appariscente
modello ad esempio non è rollante. Nulla ha di innovativo: non è più
maneggevole di un’auto, non è più sicuro di una moto (rischia il ribaltamento
in curva), e non si parcheggia con facilità. Il vantaggio dell’avere una ruota
in meno di un’auto è reale solo se il mezzo può spostare il proprio baricentro
in curva. Altrimenti gli avremo solo tolto un utile punto di appoggio.
Sono di derivazione
automobilistica i mezzi cabinati e guidati con un volante. Il rollio della cabina
è gestito da servomotori comandati da una centralina elettronica. Questi
veicoli hanno dimensioni e pesi paragonabili ad un’auto, riparano dalla
pioggia, ma non offrono bagagliaio e possibilità di caricare passeggeri.
Sussiste il problema del ribaltamento del retrotreno, e servono sofisticati
sistemi di controllo per gestire l’inclinazione del mezzo in base alla velocità
ed al raggio della curva.
Sono di derivazione
motociclistica i veicoli ottenuti aggiungendo una ruota al telaio di un motociclo. Il peso e le
caratteristiche di maneggevolezza restano del tutto simili a quelle del veicolo
originale mentre la stabilità aumenta notevolmente.
Se le due ruote sono all’avantreno nasce però un complicato
sistema meccanico per consentire il rollio e la sterzata simultanei. Se sono al
retrotreno la complicazione nasce nella trasmissione del moto a due ruote
indipendenti.
IL VEICOLO DELL’UNUVERSITA’ DI PADOVA
La soluzione innovativa vuole ottenere il miglior compromesso
tra semplicità (quello che non c’è non costa e non si rompe) e prestazioni.
L’intenzione è di mantenere la tradizionale geometria dello sterzo
e far rollare solo la porzione anteriore con il pilota.
Un motore da scooter, con l’aggiunta di un differenziale per
trasmettere il moto a due ruote posteriori, costituisce il retrotreno non
rollante.
Il collegamento tra le due parti avviene attraverso un
meccanismo a quadrilatero, non un semplice snodo tra la parte fissa e quella
rollante.
Il quadrilatero permette di trasferire più carico sulla ruota
interna alla curva evitando il ribaltamento, e consente di posizionare l’asse
di rollio del mezzo sia sopra che sotto il terreno.
Ne risulta un veicolo
maneggevole come un tradizionale scooter ma in grado di trasmettere molta
sicurezza anche ai piloti meno esperti.
Scopo del progetto è l’implementazione del modello virtuale di un
veicolo e relativo sistema di controllo che permettano di riprodurre fedelmente
le manovre eseguite con il veicolo reale.
L’utilità di questo lavoro non è immediata, risiede nella futura
possibilità di operare studi e cambiamenti sul modello virtuale anziché su
quello reale. I risultati saranno disponibili in poche ore di calcolatore,
anziché in giorni di officina e prove su strada.
RESTRIZIONI
Poiché lo sviluppo di un modello adatto a simulare tutte le
condizioni operative del prototipo richiederebbe molto più tempo di quello a
disposizione, si è scelto di studiare il modello alla sola velocità di 10 m/s,
simulando il moto rettilineo, l’ingresso in una curva a raggio costante con
angolo di rollio 30° ed uno slalom con passo di 7,5m.
Il modello verrà sviluppato con il software multibody
Visual Nastran 4D.
I problemi principali e più dispendiosi in termini di tempo e
denaro sono:
- la costruzione e validazione di
modelli matematici efficienti che riproducano fenomeni complessi, come la
meccanica del contatto pneumatico/terreno;
- la reperibilità delle grandezze meccaniche che caratterizzano
il sistema reale: rigidezze degli pneumatici e delle sospensioni, attrito e
smorzamento dei vincoli, posizione del baricentro, influenza del corpo umano
sulla dinamica del sistema, …
- la misurazione del comportamento reale del sistema, che deve
fornire parametri utili alla messa a punto del controllo automatico candidato
alla guida del mezzo
MODELLO GEOMETRICO DEL VEICOLO
La costruzione del veicolo virtuale parte dal modello CAD 3D:
tutti i componenti principali vengono disegnati ed esportati come *.step files, in seguito ogni
componente è importato nel codice multibody come
corpo rigido.
I corpi vengono poi connessi con i vincoli appropriati quali:
coppie cinematiche rotoidali per i cuscinetti, camme per le forcelle, gruppi
molla-smorzatore per le sospensioni, motori per azionare le ruote e lo sterzo,
vincoli rigidi tra pneumatico e cerchione, …
A questo punto si ottiene un modello geometricamente e cinematicamente identico a quello reale.
Il pilota è schematizzato come una massa (sfera arancione)
solidale al telaio.
MODELLO MATEMATICO DELLO PNEUMATICO
L’interazione tra pneumatico e terreno è il vincolo di più
difficile modellazione.
Il software fornisce una elementare proprietà di attrito tra i
corpi, ma è assolutamente troppo semplice per riprodurre il fenomeno. Le forze
scambiate tra pneumatico e strada dipendono sia dallo scorrimento relativo tra
le superficie gomma/asfalto che dalle deformazioni della carcassa. Non è quindi
sufficiente considerare lo pneumatico un corpo rigido con attrito coulombiano sul terreno.
IMPRONTA
A TERRA DELLA RUOTA
Tutti i momenti e le forze reattivi che la strada esercita sulla
ruota passano attraverso la zona di
contatto gomma/asfalto. L’impronta a terra ha forma ellittica quando la ruota è
verticale, si deforma sempre più con l’aumentare dell’angolo di rollio. Le
componenti principali della forza di contatto sono: NORMALE per sostenere il
peso del veicolo, LONGITUDINALE per generare la spinta e la frenata, LATERALE
per permettere la sterzata.
FORZA
NORMALE
Il comportamento di una gomma caricata può essere schematizzato
come quello di un ammortizzatore, composto di una molla molto rigida ed un
piccolo smorzatore. Ne risulta un sistema così definito:
N = Kn * z + Cn * dz/dt
N = forza normale
Kn è la rigidezza dello
pneumatico
Cn il coefficiente di
smorzamento
z la deformazione verticale.
La deformazione statica sarà pari a z = Fn
/ Kn.
FORZA DI
SPINTA
Applicando una coppia alla ruota, sia essa motrice o frenante, nasce
uno scorrimento relativo tra il battistrada e l’asfalto detto slip
longitudinale.
La formula (sperimentale) che lega forza e slip è la Magic
Formula di Pacejka. La relazione originale è
abbastanza complessa, nel nostro caso una versione semplificata descrive il
fenomeno in maniera sufficientemente fedele alla realtà:
S = Ks * slip / sqrt( 1 + ( Ks/Dx * slip )^2 ) * N
S = forza longitudinale
Ks = rigidezza di slip
longitudinale
Dx = max
S/slip
FORZA
LATERALE
La forza laterale consta di una componente generata dalla deriva
dello pneumatico (Fd) ed una dal rollio dello
pneumatico (Fr).
Deriva: come accade nel piano longitudinale, anche lateralmente
nasce una forza dallo scorrimento relativo tra le superficie. E’ questa forza
che permette di direzionare le autovetture. La schematizzazione matematica è
identica a quella della forza di spinta, considerando questa volta l’angolo di
deriva lambda:
Fd = Kf * lambda / sqrt(
1 + ( Kf/Dy * lambda )^2 )
* N
Fd = forza laterale di deriva
Kf = rigidezza di slip laterale
Dy = max
Fd/slip
Rollio: nello pneumatico motociclistico esiste una componente di
forza laterale generata dalla deformazione della carcassa quando la ruota non è
verticale. Questa componente copre quasi totalmente la richiesta di forza
laterale del veicolo, così la deriva necessaria a fornire la tenuta in curva è
spesso trascurabile. Nei mezzi a due ruote infatti il pilota avverte
immediatamente il più piccolo slittamento degli pneumatici, mentre in un grosso
auto-articolato sono normali grandi derive delle gomme per mantenere la
traiettoria. Questo contributo può essere assunto lineare con l’angolo di
rollio phi:
Fr = Kr * phi
* N
Fr = forza laterale di rollio
Kr = rigidezza di rollio
In
definitiva si ha: F = Fd + Fr
Le tre componenti N, S, F si considerano agenti al centro
dell’impronta a terra, mentre nel modello virtuale vengono applicate al mozzo
ruota: è necessario inserire le adeguate coppie di trasporto.
Questo modello di pneumatico viene applicato alla ruota anteriore,
mentre per quelle posteriori (non rollanti) è sufficiente in prima analisi un
modello senza il contributo di Fr.
N.B. Questo modello di pneumatico è detto LENTICOLARE poiché non
tiene conto della sezione toroidale della gomma. La semplificazione è
accettabile per questo modello preliminare, ma non permetterà di ottenere
risultati accurati.
STABILITA’
DEL MEZZO SENZA PILOTA
Il primo test sulla bontà del modello è per valutare la
stabilità intrinseca del veicolo. Il prototipo viene lanciato alla velocità di
10 m/s, in configurazione di equilibrio, senza che vi siano applicate forze di
comando. In seguito si applica una piccola perturbazione, simulazione di un
colpo allo sterzo, e si osserva l’evoluzione libera del sistema.
Il grafico illustra come l’oscillazione generata dal colpo venga
smorzata in circa 3s, essa ha frequenza di circa 1Hz. Il veicolo è stabile, non
in maniera soddisfacente, ma stabile.
Si è scelto di far agire i controlli automatici sulla coppia di
sterzo applicata, come se a guidare il mezzo fosse un pilota reale. In prima
approssimazione si suppone che il pilota guidi il tre ruote solo con lo sterzo,
senza spostare lateralmente il peso del corpo.
Il primo controllo introdotto serve per garantire la stabilità
del veicolo. L’obbiettivo è di riportarlo in posizione verticale da una con
angolo di rollio non nullo. La coppia dovrà essere proporzionale all’angolo di
rollio (più è piegato il veicolo, più devo spingere sullo sterzo) e alla
velocità di rollio (se sto cadendo rapidamente devo agire rapidamente), il
controllo è quindi del tipo proporzionale e derivativo
T = Kp * phi + Kd * d(phi)/dt
Kp = coefficiente
proporzionale
Kd = coefficiente derivativo
Phi = angolo di rollio
CONTROLLO DI TRAIETTORIA
Per guidare il veicolo nella traiettoria voluta si impone un
rollio richiesto phi_target diverso da zero,
costringendolo a piegare e quindi curvare dalla parte voluta. Per fare ciò il
controllo è modificato in questo modo:
T = Kp * (phi – phi_target ) + Kd * d(phi)/dt
Ora il controllo stabilizzerà il veicolo con un angolo di rollio
non nullo, ma non ancora quello desiderato. Per mantenerlo in curva è
necessario applicare un coppia costante che esiste solo se phi
è diverso da phi_target. Questo problema è risolto
aggiungendo un termine integrale:
T = -Kp * (phi_target – phi) - Kd * d(phi)/dt
+ int( phi * dt )
La ricerca dei coefficienti Kp e Kd ottimali parte dai valori comunemente usati per la
simulazione dei motocicli : Kp = -100, Kd = -10
Una seria di prove ha portato ad utilizzare valori di Kp = 50 e Kd = 300, poi si è
cercato di calibrare il controllo per minimizzare le oscillazioni ad un
ingresso standard.
Come si evince dai grafici il campo utile prevede Kp = [-50, -60], Kd = [-250,
-350]. E’ evidente l’influenza del termine proporzionale, molto meno quella del
derivativo, tuttavia prove con valori Kd molto più
alti o più bassi hanno dato risultati assai deludenti.
I valori scelti per le prove sono infine Kp
= -50, Kd = -300, questi garantiscono il miglior
compromesso tra tempo di risposta e stabilità.
INGRESSO
IN CURVA
Si vuole ora studiare una manovra semplice che permetta di
apprezzare l’influenza di una variazione geometrica sul comportamento del
mezzo: l’ingresso e la percorrenza di una curva a raggio costante. Il grafico
di sinistra presenta una configurazione con il centro di rollio del mezzo sotto
il terreno, quello di destra sopra il piano stradale.
La traiettoria percorsa è identica, mentre la configurazione di destra
presenta un overshoot del rollio leggermente maggiore
ed è necessaria una coppia minore per mantenere la curvatura. Questo risultato
è in linea con le previsioni: la configurazione con centro di rollio più alto è
leggermente meno stabile, quindi più maneggevole.
SLALOM:
CONFRONTO CON IL VEICOLO REALE
Il grafico superiore mostra la telemetria del modello virtuale
mentre esegue uno slalom con passo 7.5 m alla velocità di 10 m/s, quello
inferiore la stessa manovra con il prototipo reale. (BLU = ANGOLO DI ROLLIO [deg], ROSSO = COPPIA
DI STERZO [Nm])
L’input per lo slalom virtuale è sempre l’angolo di rollio
richiesto, la coppia viene applicata dal controllo automatico. Si nota subito
come la coppia di sterzo non segua una funzione armonica se non con grossi
disturbi, comportamento che già un pilota mediocre riesce ad evitare. Si è
calcolata poi la funzione di trasferimento coppia/rollio, come fatto in
precedenza per il veicolo reale:
ampiezza coppia / ampiezza rollio = 0.6 per il modello virtuale
ampiezza coppia / ampiezza rollio = 0.8 per il prototipo reale
Il prototipo necessita di una coppia maggiore per ottenere lo
stesso angolo di rollio.
ritardo in fase del rollio rispetto la coppia = 130° per il
modello virtuale
ritardo in fase del rollio rispetto la coppia = 150° per il
prototipo reale
Nel prototipo l’effetto della coppia applicata (angolo di
rollio) si ha con un ritardo maggiore.
Il veicolo virtuale è, in questo caso, più performante di quello
reale: il pilota lo guiderebbe con minore sforzo e maggior feeling… ma ciò non
và bene!
L’obiettivo è avere un veicolo identico a quello vero.
CONCLUSIONI
E’ stato affrontato il problema della simulazione numerica di un
veicolo rollante a tre ruote mediante l’utilizzo di un software multibody. Si è sfruttato un modello CAD preesistente per
costruirne la cinematica, successivamente è stato implementato un controllo PID
(proporzionale integrativo derivativo) agente sulla coppia di sterzo per
guidare il veicolo. Il modello virtuale ha presentato un comportamento
comparabile a quello del mezzo reale in due tipi di prove, curva a raggio
costante e slalom, è quindi un buon candidato per ulteriori sviluppi del tema.
Tuttavia è necessaria l’ottimizzazione dei coefficienti del controllo
implementato per migliorare la stabilità del veicolo, nonché la misura accurata
delle grandezze caratterizzanti il veicolo reale: per garantire la
verosimiglianza dei risultati i dati introdotti nel software multibody devono essere realistici.
Durante la messa a punto del modello è stata testata
l’integrazione di Visual Nastran con Visual
Basic for Applications
e Simulink,
utili strumenti per l’ottimizzazione del controllo verso un obiettivo
stabilito. Il lavoro futuro consisterà quindi nella messa a punto di un
controllo con risposta più simile a quella del mezzo reale, adatto ad un range di velocità più ampio e che monitori ulteriori parametri
del mezzo. L’input dovrà essere fornito in forma di traiettoria da percorrere.
Il pilota può essere modellato in forma più realistica, caratterizzando meglio
la distribuzione delle masse e lo smorzamento agente sullo sterzo.